Песни далекой Земли [сборник] - Артур Кларк

Вторая: Z = 22 + 1 = 5

Третья: Z = 52 + 1 = 26

Четвертая: Z = 262 + 1… и так далее.

Моих программистских способностей хватило, чтобы однажды заставить компьютер подставить в уравнение числа покрупнее. Машина обыграла меня всего на две итерации, а потом начала округлять:

1, 2, 5, 26, 677, 458330,

21006640000

4412789000000000000000

Тут компьютер сдался, поскольку он не верит, что существуют числа более чем из 38 разрядов.

Однако даже первых двух полученных значений достаточно, чтобы показать: очертания множества Мандельброта должны существенно отличаться от идеальной окружности множества «К». Точка с координатой «1» находится внутри множества «К», и она же определяет ею границу. Точка с таким же расстоянием в множестве Мандельброта может вылезать за границу.

Обратите внимание: я говорю «может», а не «должна». Все зависит от изначального направления относительно начала координат. Пока что мы его игнорировали, поскольку оно не влияло на наш разговор о множестве «К», наделенном абсолютной симметричностью. Как выясняется, множество Мандельброта симметрично только относительно оси X — то есть горизонтали.

Кто-то, возможно, уже догадался об этом, исходя из природы уравнения. Но вряд ли возможно интуитивно определить, как оно выглядит в действительности. Если бы мне задали такой вопрос в девственные «домандельбротовы» времена, я бы, пожалуй, робко предположил: «Наверное, что-то вроде овала, вытянутого вдоль оси Y». Возможно, смекнул бы даже, что картинка будет смешена влево, в направлении минуса.

Предлагаю провести мысленный эксперимент. Множество Мандельброта объективно неописуемо, но вот моя попытка сделать невозможное.

Представьте, что вы смотрите сверху на толстую черепаху, плывущую за запад. Она врезалась в рыбу-меч, поэтому перед ней торчит узкая спица. Панцирь ее по всему периметру оброс гирляндами причудливых морских водорослей и черепахами-малютками всевозможных размеров, к которым тоже прилипли разные водоросли…

Попробуйте найти подобное описание в учебнике математики. Если думаете, что у вас получится лучше, поглядите на эту зверюгу — и пожалуйста, милости просим. (Подозреваю, что в мире насекомых нашлись бы аналогии получше. Возможно, где-нибудь в бразильской сельве ползает «мандельжук». Жаль, мы этого никогда не узнаем.)

Вот первая, весьма приблизительная картинка, лишенная деталей. Она очень похожа на «пруд Мандельброта» около замка Конрой (глава 18). Если решите заполнить белые пятна излюбленными пометками средневековых картографов типа «Здесь драконы», смело приступайте. Сомневаюсь, что ваши предположения окажутся сильно далекими от истины.

Прежде всего, обратите внимание на следующее. Как я уже отмечал, множество Мандельброта смещено влево (на запад, если угодно) относительно множества «К», которое простирается от +1 до -1 вдоль оси X. Вдоль горизонтальной оси наша черепаха добирается только до 0,25, хотя выше и ниже она разбухает почти до 0,4.

В левую сторону карта тянется примерно до -1,4, а затем вырождается в своеобразную спицу — или антенну, — которая заканчивается ровно на -2. С точки зрения множества Мандельброта за этой точкой нет ничего, это конец Вселенной. Фанаты множества называют ее «Крайним Западом». Давайте посмотрим, что произойдет, если сделать с равным -2. Z не превратится в нуль, но и в бесконечность не уйдет. Точка будет принадлежать множеству — и только. Но если увеличить c хотя бы чуть-чуть — скажем, до -2,00000…000001, вы не успеете заметить, как пролетите мимо Плутона и направитесь к совсем уж далекому западу, в страну квазаров.

Теперь мы подошли к важнейшему отличию одного множества от другого. Граница множества «К» представляет собой красивую четкую линию. Граница множества Мандельброта, мягко говоря, «лохматая». Насколько она лохмата, вы поймете, когда мы начнем придавать множеству что-то вроде фотографического увеличения. Только так можно увидеть невероятную флору и фауну, процветающую на этой спорной территории.

Граница (если ее можно так назвать) множества Мандельброта — это не просто линия; это нечто, чего Евклид был не в состоянии представить. Для нее не найдется слова в обычном языке. Мандельброт, который чудовищно владел английским (и американским), обыскал словари в поисках более или менее подходящих существительных. Приведу несколько вариантов: пена, губка, пыль, паутина, гнездо, творожистая масса. В конце концов он склонился к техническому термину «фрактал» и теперь воодушевленно уговаривает всех не искать более точного названия.

Компьютеры способны без труда «заснять» множество Мандельброта при любом увеличении. Даже в черно-белом виде эти «снимки» поражают воображение. Однако их несложно «подкрасить» и превратить в объекты удивительной, сюрреалистичной красоты.

Первоначальное уравнение не больше связано с цветом, чем евклидовы «Элементы геометрии». Но если мы дадим компьютеру команду окрасить определенную область множества Мандельброта в соответствии с количеством прохождений z по спирали, прежде чем z решит, принадлежит оно к множеству или нет, результаты получатся великолепные.

Таким образом, цвета, хоть и не являются обязательными, не лишены смысла. Точную аналогию легко найти в картографии. Представьте контурные линии на карте рельефа местности, где показывается высота над уровнем моря. Пространство между ними часто закрашивают так, чтобы информация воспринималась проще и быстрее. То же самое с батиметрическими картами. Чем глубже океан, тем насыщеннее синий цвет. Картограф может выбрать любые цвета. Он руководствуется эстетическими соображениями точно так же, как географическими.

Похожая ситуация и с множеством Мандельброта. Разница в том, что контурные линии устанавливаются автоматически за счет скорости вычислений. Но не будем лезть в дебри. Я так и не узнал, что за гений первым до этого додумался — возможно, сам мсье Мандельброт, — но за счет цвета множество превращается в фантастические произведения искусства. Видели бы вы это великолепие, оживленное при помощи анимации…

Открытие Мандельброта порождает немало странных мыслей. Одна из них такова. В принципе, множество могло быть обнаружено, как только человечество научилось считать. На практике, в связи с тем, что даже «малое увеличение» требует миллиардов вычислений, на множество Мандельброта невозможно было даже одним глазком взглянуть до изобретения компьютеров! Чтобы появились такие фильмы, как «Ничего, кроме зумов» от «Арт матрикс», потребовалось бы, чтобы все население Земли занималось вычислениями днем и ночью, не делая ни одной ошибки при перемножении чисел из сотен разрядов…